Projet de fin d'études en maths

[meteoweb]

Bonjour tout le monde!

 

C'est l'heure de mon projet de fin d'études en mathématiques et j'avais évidemment envie de faire le lien avec les mathématiques et la météorologie. Le lien est facile à faire, sauf que le problème c'est que les mathématiques employées sont souvent de niveau universitaire.

J'ai cherché à droite et à gauche sur internet et disons que c'est un peu mêlé comme information et j'ai du mal à me retrouver à certains moments et surtout, je ne sais pas exactement quoi chercher.

 

Peut-être ceux parmi vous qui avez déjà fait des études en météo peuvent m'aider à trouver un sujet plus spécifique relié à la météo qui se rapporte à des mathématiques de niveau collégial (algèbre linéaire et vectorielle, calcul différentiel et intégral (pas de dérivées partielles), etc...)

 

Je cherche seulement une piste pour prouver au professeur que le sujet est bon, pour ne pas me retrouver avec un sujet banal comme le nombre d'or ou les probabilités au casino..

 

Merci à l'avance pour ceux qui répondront!

[Romie]

Pour les non-initiés, les mathématiques deviennent rapidement compliquées et surtout abstraites en météo. Tu risques de te décourager et d'abandonner ton projet.

Suggestion:

Pourquoi ne pas faire ton projet sur un sujet connexe à la météo, soit en climatologie? Ex: Température (ou autre paramètre) moyenne pour une ville, écart-type, période de récurence, extrêmes, comparaison (ex: Québec-Montréal-Toronto...), corrélation entre divers éléments météo (exemple: la tendance de pression vs pluie oui ou non, Température vs précip liquide solide-liquide....)

Tout ça requiert des mathématiques moins élaborées mais plus accessibles et, qui peuvent s'avérer très intéressantes.

 

Ec offre sur leur site des données archivées à profusion. Le présent site (UQAM, données d'observations ou archives) peut aussi être intéressant. Si tu es familier avec Excel, tu pourras copier/coller les données dans des feuillets et les traiter plus facilement.

Bonne chance

Romie

[Wave]

Avec un bagage mathématique de niveau cégep, la dérivée partielle est un concept qui, en soi, est vraiment simple et pratique, alors pourquoi l'éviter ? Ce qu'il faut surtout éviter, ce sont les équations (mouvement, continuité et thermodynamique) exprimées dans l'espace 3D à l'aide des dérivées partielles ou des opérateurs différentiels vectoriels (gradient, divergence, rotationnel). Cependant, exprimées à l'aide d'une dérivée totale, ces équations sont déjà bien plus simples.

 

Avec des dérivées, je vois plusieurs possibilités de projets accessibles au niveau collégial. Les idées suivantes me semblent intéressantes et pas trop compliquées.

 

1. En négligeant l'accélération verticale, l'équation du mouvement vertical de l'air devient l'équation hydrostatique. Dans cette équation, on peut traiter la dérivée partielle comme une dérivée ordinaire. En faisant une hypothèse sur le profil vertical de température (par exemple, en le considérant constant), on peut résoudre l'équation différentielle et obtenir la pression en fonction de l'altitude (à l'aide d'une condition initiale). Pour un profil vertical quelconque de température, on peut intégrer numériquement en remplaçant les dérivées par des différences finies (le schéma le plus simple est probablement celui de Euler).

 

2. La propagation du son dans l'air est la solution d'une équation différentielle. L'étude de cette équation est une excellente introduction à la physique des ondes. Il s'agit d'étudier cette équation avec une seule dimension d'espace (qui est la direction de propagation de l'onde). Dans le cadre d'un projet, on peut comprendre le processus physique de propagation du son (l'onde de compression) et mettre en relation cette compréhension avec l'équation différentielle. Les relations numériques entre les termes de l'équation peuvent être illustrées graphiquement, pour une onde sonore sinusoïdale.

 

3. Les systèmes météo sont essentiellement des ondes qui se propagent dans l'atmosphère. Les plus simples de ces ondes sont des ondes de gravité. Celles-ci sont relativement complexes, mais, en première approximation, elles sont semblables aux ondes qu'on observe à la surface de l'eau. La dynamique de ces ondes est facile à comprendre. Le projet consisterait à étudier une onde se déplaçant dans la direction x (en eau peu profonde, pour négliger les variations de densité). Les variables dépendantes sont la hauteur de la surface et la divergence horizontale (dérivée de la vitesse horizontale par rapport à x). Les variables indépendantes sont x et t. Ces variables sont reliées par deux petites équations différentielles, qu'on combine (on néglige les termes non linéaires). Encore une fois, la solution la plus simple est une onde sinusoïdale. Ce projet est plus intéressant mais un peu plus difficile que les deux premiers.

 

Bon projet !

Modifié le 12 février 2008 par Wave

[Trapper]

Wave, relie attentivement le post car il spécifie "pas de dérivées partielles".

[Wave]

En effet, j'ai bien lu. On peut dire, à toute fin pratique, que la dérivée intervenant dans ma première proposition de projet est une dérivée ordinaire. Pour ce qui est des 2 autres propositions, les dérivées sont partielles et je trouve bien dommage qu'on s'empêche de faire des choses intéressantes pour cette seule raison.

Modifié le 12 février 2008 par Wave

[Regg001]

Question comme ça Wave... Si tu voulais parler de la dérive partielle, était-ce pour trouver une explication aux dérives de nos orages en été à Montréal

[Jean-François]

1.  En négligeant l'accélération verticale, l'équation du mouvement vertical de l'air devient l'équation hydrostatique. Dans cette équation, on peut traiter la dérivée partielle comme une dérivée ordinaire. En faisant une hypothèse sur le profil vertical de température (par exemple, en le considérant constant), on peut résoudre l'équation différentielle et obtenir la pression en fonction de l'altitude (à l'aide d'une condition initiale). Pour un profil vertical quelconque de température, on peut intégrer numériquement en remplaçant les dérivées par des différences finies (le schéma le plus simple est probablement celui de Euler).

 

Personnellement, je te suggère le premier point de Wave. L'équation hypsométrique (obtenu en intégrant l'équation hydrostatique) est une équation fort utile en météo et relativement simple à construire.

 

Définition: http://www.eumetcal.org/euromet/glossary/hypsome2.htm

 

Tu peux trouver plus d'info, entre autres, dans ces notes de cours: http://people.sca.uqam.ca/~caron/synop/S41Chap2A01.pdf (ici la dérivé verticale est une dérivé partielle mais tu peux la traiter comme une dérivé totale) ou dans le livre de James R. Holton: An introduction to dynamic meteorology (que tu peux trouver à la bibliothèque des sciences de l'UQAM, http://www.manitou.uqam.ca/manitou.dll?lir...350871534:(3-5), ou celle de McGill)

 

Il doit aussi exister des démonstrations et des exemples sur le web (cherche hyspometric equation).

 

Une remarque, l'équation hyspométrique prend différentes formes selon que l'on exprime la pression en fonction de la hauteur ou la hauteur en fonction de la pression... cela peut être mélengeant à première vue, mais tu verras vite l'équivalence en comparant les différentes formes.

 

Bonne chance.

[meteoweb]

Wow merci à vous tous!

 

En fait ca nous prend 4 volets alors je peux certainement voir qu'est-ce que je peux faire avec vos suggestions et en trouver un nouveau avec ce qui est meilleur... J'avais en effet vu des liens avec Euler alors la première de Wave semble la meilleure à première vue.

 

Moi et mon coéquipier avions déjà comme idée de parler de refroidissement éolien et facteur humidex dans un volet (en tant qu'application de formules relativement simples) et le prof a accepté à condition qu'on ne mette pas un volet pour l'un et un autre pour l'autre si on manque d'inspiration... Parce que c'est pas très élaboré mathématiquement... Ensuite le prof nous a suggéré de se tourner vers Runge-Kutta pour un autre volet, étant une méthode d'approximation semble-t-il et de faire ressortir les concepts collégiaux sans aller au plus profond de la chose.

 

C'est certain que je ne vais pas me décourager, je voulais tellement le faire sur la météo héhé.. je peux pas vraiment changer d'idée maintenant que le sujet est accepté!

 

Un gros merci encore! Et ce n'est pas trop tard pour d'autres suggestions.

[Wave]

Wow merci à vous tous!

 

En fait ca nous prend 4 volets alors je peux certainement voir qu'est-ce que je peux faire avec vos suggestions et en trouver un nouveau avec ce qui est meilleur... J'avais en effet vu des liens avec Euler alors la première de Wave semble la meilleure à première vue.

 

Moi et mon coéquipier avions déjà comme idée de parler de refroidissement éolien et facteur humidex dans un volet (en tant qu'application de formules relativement simples) et le prof a accepté à condition qu'on ne mette pas un volet pour l'un et un autre pour l'autre si on manque d'inspiration... Parce que c'est pas très élaboré mathématiquement... Ensuite le prof nous a suggéré de se tourner vers Runge-Kutta pour un autre volet, étant une méthode d'approximation semble-t-il et de faire ressortir les concepts collégiaux sans aller au plus profond de la chose.

 

C'est certain que je ne vais pas me décourager, je voulais tellement le faire sur la météo héhé.. je peux pas vraiment changer d'idée maintenant que le sujet est accepté!

 

Un gros merci encore! Et ce n'est pas trop tard pour d'autres suggestions. 

Le shéma de Runge-Kutta est une méthode approximative de résolution d'équations différentielles à l'aide de différences finies. Il est plus compliqué que la méthode de Euler, mais c'est un schéma stable (les erreurs ne grossissent pas exponentiellement), ce qui est essentiel en météo ! Cependant, si je ne me trompe pas, ce shéma n'est pas très économe et n'est pas des plus utilisés en météo.

 

En météo, il existe d'autres shémas plus intéressants (conceptuellement parlant) et probablement moins coûteux en temps de calculs. Pour traiter les termes d'advection (la dérivée totale par rapport au temps, en suivant le mouvement du fluide), le shéma semi-lagrangien est excellent. Pour les autres termes des équations, le shéma semi-implicite est tout aussi excellent. Souvent aussi, on utilise deux grilles décalées, de façon à ce que les taux de variation calculés (les dérivées approximées) soient centrés.

 

Si la météo et les modèles numériques de prévision du temps t'intéressent, je te recommanderais (si tu avais eu plus de temps pour cerner ton sujet) d'étudier une de ces deux méthodes (semi-implicite ou semi-lagrangienne). À l'UQAM, il existe un excellent modèle météo (le MC2, si son nom n'a pas changé) basé sur ces schémas. Toutefois, la méthode de Runge-Kutta étant (je pense) moins compliquée, c'est peut-être une bonne introduction en la matière.

 

Bon projet !

Modifié le 13 février 2008 par Wave

[Wave]

Question comme ça Wave... Si tu voulais parler de la dérive partielle, était-ce pour trouver une explication aux dérives de nos orages en été à Montréal 

Ah oui, le fameux effet antibiorage, qui, par sa dérive des orages nous fais rager ! En fait, ici il s'agissait davantage de ces fameux taux de variation ponctuels qui font dériver les étudiants moins matheux vers des profils sans maths.

Modifié le 13 février 2008 par Wave